反直覺的事實有時候甚至騙過了最好的數學家。 今天， 我為大家整理這十大令人驚愕的數學結論， 恰恰跟我們生活中的經驗背道而馳。
生日悖論
假設房間裡有23人， 那麼兩個人生日是同天的概率將大於50%。 我們很容易得出， 任何一個特定的日子裡某人過生日的概率是1/365。 所以這個理論看似是無法成立。
但理論與現實差異正源自於：我們的唯一要求是兩個人彼此擁有同一天生日即可， 不限定在特定的一天。 否則， 如果換做某人在某特定日期生日， 例如2月19日， 那麼23個人中概率便僅為6.12%。
另一方面如果你在有23個人的房間挑選一人問他：“有人和你同一天生日嗎？”答案很可能是否定的。
巴拿赫-塔爾斯基悖論
這一定理指出在選擇公理成立的情況下可以將一個三維實心球分成有限（不勒貝格可測的）部分， 然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合， 就可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。
巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理， 但該證明很自然， 因此數學家認為這僅意味著選擇公理可以導致少數令人驚訝和反直覺的結果， 並且它被許多數學家視作數學中最為反常的一個結果。 在現實生活中我們沒有任何辦法能將一個物體憑空複製成兩個。
但事實上他卻是成立的， 這個結果似乎挑戰了物理中的品質守恆定律， 但似乎又是在說一個物體的品質可以憑空變為原來的兩倍？
但如若原品質是無限的話， 翻倍後還是無限大， 那麼從這一層面出發來看這一理論也並沒有打破物理法則。
蒙提霍爾問題
三門問題亦稱為蒙提霍爾問題， 大致出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。 問題名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾。
參賽者會看見三扇關閉了的門， 其中一扇的後面有一輛汽車， 選中後面有車的那扇門可贏得該汽車， 另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。
當參賽者選定了一扇門， 但未去開啟它的時候， 節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，
問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？如果嚴格按照上述的條件， 即主持人清楚地知道， 哪扇門後是羊， 那麼答案是會。 不換門的話， 贏得汽車的幾率是1/3。 換門的話， 贏得汽車的幾率是2/3。
這個問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾， 但十分違反直覺。 這問題曾引起一陣熱烈的討論。
曾經問過很多人， 幾乎所有人都沒有答對， 換門的這一答案實在是太過反常識！關於第一個解答這個問題的女士的經歷也十分耐人尋味：
關於蒙提霍爾問題， 瑪麗蓮·沃斯·莎凡特在她專欄的回答是改選會更有優勢，
一位來自佛羅里達大學的讀者寫道：“這個國家已經有夠多的數學文盲了， 我們不想再有個世界上智商最高的人來充數！真讓人羞愧！”另一個人寫道：“我看你就是那只山羊！”美國陸軍研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)寫道， “如果連博士都要出錯， 我看這個國家馬上要陷入嚴重的麻煩了。 ”但是莎凡特並沒有錯。
最後她用整整4個專欄， 數百個新聞故事及在小學生課堂模擬的測驗來說服她的讀者她是正確的。 遊戲秀的調查資料顯示， 那些改選的參賽選手贏的幾率是那些沒有改選的人的兩倍， 這證實了莎凡特在其第三篇專欄中的解釋。
這一課告訴了我們， 不要輕信自己的直覺。
巴塞爾問題
將自然數各自平方取倒數加在一起等於π2/6。
一般人都會覺得， 左邊這一坨自然數似乎和π（圓的周長與直徑的比值）不會存在任何聯繫！然而它就這麼發生了。
阿貝爾不可解定理
我們在中學都學過二次方程， 也學過應該怎麼解次數為2的多項式方程 ax2 + bx + c = 0。 但在16世紀， 數學家解出了一元三次方程， 即ax3 + bx2 + cx + d = 0。 當然它對應的求根公式稍稍複雜：
看到這裡你應該慶倖中學課本並沒有要求你掌握這個， 讓我們再看看求一元四次方程的求根公式， 這可更是不得了
好吧， 反正我是直接下拉， 一個字都讀不進去了。 放心， 我不會再繼續向你們展示之後的求根公式了。
因為一元五次及以上方程的求根公式並不存在！這裡指的並不是至今還沒有找到它們的求根公式， 而是數學家確確實實的證明了它們並不存在。
有不同層次的無窮大
你可能從來想像不到，有一些無窮大比其他的無窮更大。無窮大應該被稱為基數，並且一個無窮大如果比另一個無窮大擁有更大的基數，則說它比另一個無窮大要大（無窮大的基數總是大於任何一個自然數的基數）。
還有許多關於無窮大的基數大大出乎我們的意料。舉一個非常經典的例子：整數比奇數多嗎？
你可能會毫不猶豫的回答，那是當然！因為整數多出了一系列的偶數。但答案是否定的，他們擁有相同的基數，因而整數並不比奇數多。知道了這個道理，就不難回答這個問題了吧：有理數多於整數嗎？不，有理數與整數相同多。
然而康托發現事實上上實數比有理數還要多。實數通常被認為是連續統，並且至今未能完全知道，是否有介於整數基數和連續統基數的無窮大？這個猜想被稱為連續統猜想。
哥德爾不完備定理
我們證明了有一些東西是不能被證明的。它的邏輯是這樣的：任何一個足夠強的系統都存在一個命題，既不能被證明也不能被證偽（例如連續統假設）；任何一個足夠強的系統都不能證明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾。
以上兩條定義即著名的哥德爾不完備定理。他的意義並不僅僅局限於數學，也給了我們深深地哲學啟迪。
而是數學家確確實實的證明了它們並不存在。有不同層次的無窮大
你可能從來想像不到，有一些無窮大比其他的無窮更大。無窮大應該被稱為基數，並且一個無窮大如果比另一個無窮大擁有更大的基數，則說它比另一個無窮大要大（無窮大的基數總是大於任何一個自然數的基數）。
還有許多關於無窮大的基數大大出乎我們的意料。舉一個非常經典的例子：整數比奇數多嗎？
你可能會毫不猶豫的回答，那是當然！因為整數多出了一系列的偶數。但答案是否定的，他們擁有相同的基數，因而整數並不比奇數多。知道了這個道理，就不難回答這個問題了吧：有理數多於整數嗎？不，有理數與整數相同多。
然而康托發現事實上上實數比有理數還要多。實數通常被認為是連續統，並且至今未能完全知道，是否有介於整數基數和連續統基數的無窮大？這個猜想被稱為連續統猜想。
哥德爾不完備定理
我們證明了有一些東西是不能被證明的。它的邏輯是這樣的：任何一個足夠強的系統都存在一個命題，既不能被證明也不能被證偽（例如連續統假設）；任何一個足夠強的系統都不能證明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾。
以上兩條定義即著名的哥德爾不完備定理。他的意義並不僅僅局限於數學，也給了我們深深地哲學啟迪。