小火箭出品
本文作者：邢強博士
本文共3514字， 35圖。 預計閱讀時間：10分鐘。
足球場上， 當出現任意球的機會， 而且主罰球員又經過刻苦練習的話， 就有很大概率出現香蕉球、電梯球等令人嘆為觀止的精彩瞬間。
香蕉球是如何出現的？
足球、棒球、排球、乒乓球、網球和高爾夫球中都會出現的這種現象的力學解釋是怎樣的？
如何用小火箭計算中心的強大算力來展示和分析香蕉球的流場和彈道情況？
本文， 小火箭用十句話， 來和大家一起探討香蕉球。
1.香蕉球，
顧名思義，
就是飛行彈道彎曲，
形似香蕉的足球飛行軌跡，
1997年6月， 巴西足球隊的金左腳羅伯特·卡洛斯以一記驚世駭俗的任意球， 創造了歷史， 同時也把香蕉球這個傳奇永久地留給了世人。
2.香蕉球的力學現象和力學原理， 最早是由艾薩克·牛頓系統觀察和分析的。
嗯， 說起力學和光學， 恐怕很少有哪個現象能夠逃脫牛頓的法眼。
公元1672年， 30歲的牛頓入選為大英帝國皇家學會會員。 而就在這一年， 酷愛看網球比賽的牛頓發現了一個現象：
有的時候， 被球拍打出去的網球， 在空中飛行的軌跡并不是直線， 也不是單純受重力作用下的拋物線， 而是一條比較詭異的曲線。
牛頓仔細檢查了劍橋大學的網球場， 并沒有發現有什么其他能夠對力場產生影響的因素，
這個現象， 牛頓爵士后來在他的《自然哲學的數學原理》一書中， 給出了樸素的力學解釋：
流體在兩個面上由于缺乏潤滑而引起的阻力與速度梯度成正比。
旋轉的網球， 一側與空氣的相對速度大于另一側， 于是也就是擁有了更大的阻力。 這個阻力差， 使得網球的運動軌跡偏移了。
3.1852年， 德國物理學家古斯塔夫·馬格努斯給出了這種球體曲線飛行的更為明晰的解釋， 該現象也就最終被后人定名為馬格努斯效應。
當一個旋轉物體的旋轉角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時， 在與旋轉角速度矢量和移動速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產生一個橫向力。
在這個橫向力的作用下物體飛行軌跡發生偏轉的現象稱作馬格努斯效應。 旋轉物體之所以能在橫向產生力的作用， 從物理角度分析， 是由于物體旋轉可以帶動周圍流體旋轉， 使得物體一側的流體速度增加， 另一側流體速度減小。
流體速度增加將導致壓強減小， 流體速度減小將導致壓強增加， 這樣就導致了旋轉物體在橫向產生壓力差， 并最終形成橫向力。
馬格納斯效應：在一個向前飛行的球上， 順時針旋轉的球體面對前方來流的時候， 會產生一個向右的力。 （這圖有些問題， 小火箭在后文會詳細說。 ）
4.馬格努斯效應的本質， 在于旋轉。
有關香蕉球和馬格努斯效應， 很多人從科普層面給過解釋了。 作為亞歐大陸航空航天領域技術實力最強的國際組織，
本文， 小火箭在力圖精簡的同時， 給出計算中心計算的結果。
咱們假設從左向右， 有一股強勁的氣流。
氣流速度， 按卡洛斯在1997年踢的那腳任意球的146.3公里/小時來計算。
當足球不旋轉的時候， 氣流優雅地繞過足球， 理想情況下， 流線是對稱的（如上圖所示）。
整個速度場也是呈對稱分布的狀態。
當足球旋轉起來的時候， 流線發生了奇妙的變化：上圖上側流線被壓縮， 下側流線則變得稀疏。
通過計算， 我們也能夠發現廣為流傳的科普示意圖的問題：
左側的流線應該遠離球體， 不會離得這么近。
球體左側流線的中部應該向球體凸出， 而不是像上圖右側那樣以凹面貼近球體。
這就是專業計算與科普示意的本質區別：
小火箭的流場是算出來的， 其他一些平臺的流場或許是憑空畫出來的。
流線的變化使得足球開始受到一個橫向力， 這個力就是香蕉球得以出現的關鍵。
5.足球的形變、流體的渦、足球表面的縫線形態以及運動員碰觸足球瞬間的位置， 都會對整個流場產生影響。
更有好友曰：足球是軟的， 并非剛體， 是否得考慮進來。
當然了， 真實的物理場景遠不止一個圓球這么簡單。
比如， 從力學的角度來說， 踢定位球， 尤其是想要直接破門的任意球的時候， 腳與球的接觸點， 最好是足球的打氣孔位置。
這里是整個足球最堅硬的地方， 有助于為產生馬格努斯效應提供有利的力學環境。
形變的高速旋轉足球對周圍壓力場的影響，詳見小火箭的計算：
高速旋轉和飛行過程中的電視之星18號足球，對周圍直徑4米范圍內的空氣產生了顯著的影響。
有關該足球，詳見小火箭的公號文章《2018年世界杯足球的太空奇幻之旅》。
這或許就是頂級守門員經常談論到的，在撲救過程中，還未碰觸足球之前就感受到的殺氣吧。
6.馬格努斯效應能夠顯著改變足球的飛行彈道，令門將防不勝防。
上圖藍色虛線是踢球的運動員的發力線，紅色虛線是大多數人預期的足球彈道，紅色帶箭頭實線則是高速旋轉的足球在馬格努斯效應的影響下飛出的香蕉彈道。
真的能夠有這么大的區別么？
從本文文末的視頻，我們能夠看到，卡洛斯在踢出任意球的時候，法國門將根本就沒有想到去撲救，而球門線后面的球童則下意識地低頭躲避，他們兩個人應該都以為足球會按上圖紅色虛線的彈道飛行。
（球童剛好在紅色虛線與球門線的交點處，他的反應很有代表性。）
我開啟原本用于彈道導彈再入彈頭超高精度計算的2號機，對馬格努斯效應下的足球彈道進行了超高精度計算。
如上圖所示，高速旋轉的足球相較于不旋轉的足球，在20米范圍內能夠提供的理論極限橫向位移偏差為4.98米。如果起腳位置離球門更遠，則橫向位移會更大。
按照國際足聯標準足球場的定義，球門的位置在球門線上的中央位置。球門由左右兩根垂直的門柱及連接兩根立柱的橫梁組成。
兩根立柱距離需為7.32米（8碼），橫梁的下邊緣則距離地面2.44米。
4.98米的橫向位移，已經足夠讓任意球攔腰飛越人墻然后應聲入網了。
當然，這得和門將的反應速度一起來綜合考慮。
小火箭認為，能否在最關鍵的時刻，憑借直覺和經驗做出最優化的判斷，是決定一名球員可否成為頂級球星的重要因素。
7.馬格努斯效應不僅僅在足球場上有應用，還在戰場上有著重要價值。
上圖：M68、M101、博福斯40毫米高射炮、M224、M120的炮彈。
在很長一段時間里，火炮都有著戰爭之王的美譽。
為了利用陀螺效應增強彈丸的穩定性，提高彈丸的射程，人類自16世紀初期的火繩槍時代就開始大規模使用膛線了。
膛線能夠讓子彈或者炮彈快速旋轉，維持一個小攻角狀態，并且能夠保證在有效射程范圍內以子彈或者炮彈的頭部與目標接觸。
彈丸的旋轉速度還是非常快的。
我們按照惠特沃斯博士的理論，計算一下普通M4卡賓槍的子彈轉速，就能有個初步了解了：
按惠特沃斯博士的理論，像M4卡賓槍這樣的武器，其槍管膛線纏度是1:7英寸（177.8毫米）。
卡賓槍的槍口初速是931米/秒，所以卡賓槍子彈的出膛轉速就是：
931米/秒除以0.1778米，也就是5.2kHz。
換算成咱們常用的轉速概念，就是每分鐘31.4萬轉！或者每秒5233轉！
前面咱們討論過了，馬格努斯效應產生的本質，就是在流體中的旋轉運動。
那么，這么快的轉速，當然會產生馬格努斯效應了。
如果我們的炮彈像古斯塔夫大炮或者朵拉大炮的那樣碩大無比，或者像上圖155毫米炮彈彈藥庫里如此大量的話，或許不用太考慮馬格努斯效應。
畢竟，要么靠勢大力沉的力量，要么靠鋪天蓋地的數量，都有足夠的戰斗力了。
但是，實際上，馬格努斯效應在彈丸的受力占比中，有著1%到5%的比例，實在不可小覷。
作為一名優秀的狙擊手的話，也需要對馬格努斯效應有充分的體會，才能夠做到彈無虛發。
小火箭給出結論：
按逆時針膛線來看，彈丸繞前出方向進行逆時針旋轉的時候，如果此時有從左向右吹的橫側風，那么彈丸會受到附近的馬格努斯效應而產生向下的力，從而射程會縮短。
狙擊手或者遠程火炮射手如果沒有提前修正的話，彈丸落點會偏近且偏右。
右側橫側風影響與之類似，不過落點變化就是偏遠且偏左了。
8.馬格努斯效應既然能夠產生垂直于來流方向的力，那么理論上就能夠由這個原理來研制飛機。
上圖就是一架（實際上是世界上首架）以馬格努斯效應為原理研制的飛機。
這是1910年美國國會議員，大工程師巴特勒·埃姆斯發明的。
9.馬格努斯效應不僅僅能用在飛機上，還能用在船舶上。
2010年8年，德國建造的Eship實現了她的處女航。這艘排水量達1.05萬噸的大船采用了4座圓柱帆作為輔助動力。
這4座高27米，直徑4米的圓柱帆在柴油機的強大動力的帶動下，旋轉起來，由此產生馬格努斯效應來驅動大船前行。
為了應對無風的情況，該船還有2臺螺旋槳可以提供傳統動力。
10.馬格努斯，這個聽起來有點兒霸氣的名字，原來和羅馬共和國的龐培有關！
公元前63年，米特拉達梯戰爭后，羅馬人經過長達42年的奮戰取了最后的勝利，把整個小亞細亞（安納托利亞，如今土耳其的大部分領土）納入了版圖。
羅馬人認為他們即將迎來新的全盛時期。（上圖為羅馬帝國時期的版圖）
羅馬人簇擁著龐培，給予了他新的稱號Magnus（馬格努斯）。
按古羅馬的拉丁語境分析，馬格努斯有著非凡的、卓越的和偉大的含義。
小火箭出品，必屬精品！
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形變的高速旋轉足球對周圍壓力場的影響，詳見小火箭的計算：
高速旋轉和飛行過程中的電視之星18號足球，對周圍直徑4米范圍內的空氣產生了顯著的影響。
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這或許就是頂級守門員經常談論到的，在撲救過程中，還未碰觸足球之前就感受到的殺氣吧。
6.馬格努斯效應能夠顯著改變足球的飛行彈道，令門將防不勝防。
上圖藍色虛線是踢球的運動員的發力線，紅色虛線是大多數人預期的足球彈道，紅色帶箭頭實線則是高速旋轉的足球在馬格努斯效應的影響下飛出的香蕉彈道。
真的能夠有這么大的區別么？
從本文文末的視頻，我們能夠看到，卡洛斯在踢出任意球的時候，法國門將根本就沒有想到去撲救，而球門線后面的球童則下意識地低頭躲避，他們兩個人應該都以為足球會按上圖紅色虛線的彈道飛行。
（球童剛好在紅色虛線與球門線的交點處，他的反應很有代表性。）
我開啟原本用于彈道導彈再入彈頭超高精度計算的2號機，對馬格努斯效應下的足球彈道進行了超高精度計算。
如上圖所示，高速旋轉的足球相較于不旋轉的足球，在20米范圍內能夠提供的理論極限橫向位移偏差為4.98米。如果起腳位置離球門更遠，則橫向位移會更大。
按照國際足聯標準足球場的定義，球門的位置在球門線上的中央位置。球門由左右兩根垂直的門柱及連接兩根立柱的橫梁組成。
兩根立柱距離需為7.32米（8碼），橫梁的下邊緣則距離地面2.44米。
4.98米的橫向位移，已經足夠讓任意球攔腰飛越人墻然后應聲入網了。
當然，這得和門將的反應速度一起來綜合考慮。
小火箭認為，能否在最關鍵的時刻，憑借直覺和經驗做出最優化的判斷，是決定一名球員可否成為頂級球星的重要因素。
7.馬格努斯效應不僅僅在足球場上有應用，還在戰場上有著重要價值。
上圖：M68、M101、博福斯40毫米高射炮、M224、M120的炮彈。
在很長一段時間里，火炮都有著戰爭之王的美譽。
為了利用陀螺效應增強彈丸的穩定性，提高彈丸的射程，人類自16世紀初期的火繩槍時代就開始大規模使用膛線了。
膛線能夠讓子彈或者炮彈快速旋轉，維持一個小攻角狀態，并且能夠保證在有效射程范圍內以子彈或者炮彈的頭部與目標接觸。
彈丸的旋轉速度還是非常快的。
我們按照惠特沃斯博士的理論，計算一下普通M4卡賓槍的子彈轉速，就能有個初步了解了：
按惠特沃斯博士的理論，像M4卡賓槍這樣的武器，其槍管膛線纏度是1:7英寸（177.8毫米）。
卡賓槍的槍口初速是931米/秒，所以卡賓槍子彈的出膛轉速就是：
931米/秒除以0.1778米，也就是5.2kHz。
換算成咱們常用的轉速概念，就是每分鐘31.4萬轉！或者每秒5233轉！
前面咱們討論過了，馬格努斯效應產生的本質，就是在流體中的旋轉運動。
那么，這么快的轉速，當然會產生馬格努斯效應了。
如果我們的炮彈像古斯塔夫大炮或者朵拉大炮的那樣碩大無比，或者像上圖155毫米炮彈彈藥庫里如此大量的話，或許不用太考慮馬格努斯效應。
畢竟，要么靠勢大力沉的力量，要么靠鋪天蓋地的數量，都有足夠的戰斗力了。
但是，實際上，馬格努斯效應在彈丸的受力占比中，有著1%到5%的比例，實在不可小覷。
作為一名優秀的狙擊手的話，也需要對馬格努斯效應有充分的體會，才能夠做到彈無虛發。
小火箭給出結論：
按逆時針膛線來看，彈丸繞前出方向進行逆時針旋轉的時候，如果此時有從左向右吹的橫側風，那么彈丸會受到附近的馬格努斯效應而產生向下的力，從而射程會縮短。
狙擊手或者遠程火炮射手如果沒有提前修正的話，彈丸落點會偏近且偏右。
右側橫側風影響與之類似，不過落點變化就是偏遠且偏左了。
8.馬格努斯效應既然能夠產生垂直于來流方向的力，那么理論上就能夠由這個原理來研制飛機。
上圖就是一架（實際上是世界上首架）以馬格努斯效應為原理研制的飛機。
這是1910年美國國會議員，大工程師巴特勒·埃姆斯發明的。
9.馬格努斯效應不僅僅能用在飛機上，還能用在船舶上。
2010年8年，德國建造的Eship實現了她的處女航。這艘排水量達1.05萬噸的大船采用了4座圓柱帆作為輔助動力。
這4座高27米，直徑4米的圓柱帆在柴油機的強大動力的帶動下，旋轉起來，由此產生馬格努斯效應來驅動大船前行。
為了應對無風的情況，該船還有2臺螺旋槳可以提供傳統動力。
10.馬格努斯，這個聽起來有點兒霸氣的名字，原來和羅馬共和國的龐培有關！
公元前63年，米特拉達梯戰爭后，羅馬人經過長達42年的奮戰取了最后的勝利，把整個小亞細亞（安納托利亞，如今土耳其的大部分領土）納入了版圖。
羅馬人認為他們即將迎來新的全盛時期。（上圖為羅馬帝國時期的版圖）
羅馬人簇擁著龐培，給予了他新的稱號Magnus（馬格努斯）。
按古羅馬的拉丁語境分析，馬格努斯有著非凡的、卓越的和偉大的含義。
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